有哪些违背直觉的数学问题

　　博彩游戏问答

　　大概看了一下已有的答案，好多著名的都被回答了，我讲几个比较简单易懂的概率游戏吧。
下一张红牌
一副除去大小王的扑克牌，即26张红牌26张黑牌，洗牌之后全部朝下，并按照一定的速度一张一张地翻开发出。
现在让你玩一个”猜下一张是红牌的游戏“，规则如下：
1.你可以随时叫”停”，博彩游戏问答如果下一张牌是红牌则你赢得1元钱。
2.如果一直没叫“停”，则最后一张牌是红牌你赢得1元钱。
问题为：有什么策略可以增加你的胜率，或者说是提高奖金期望值呢？
应该会有同学说可以“记着已出现的红牌和黑牌数量，一旦发现发出的黑牌比红牌多X张，就表示未发出的牌中红牌比黑牌多X张，那么这时候叫停获胜的概率更高。” 好了，讲到这里是不是有人要去解X的最佳值是多少了，是3，还是5，还是多少？
答案为：都不是，这个游戏没有策略可以增加胜率，不管怎么玩胜率都是50%。
用概率论和递归的方式来证明有点复杂，我们可以试试下面这个证明方法：
1.假设我们稍微改变一下这个游戏，你叫“停”之后，如果最后一张牌是红牌则你赢得1元钱。
这个规则下策略有用吗？ 当然没有了呀，最后一张牌的颜色是固定了的，你什么时候叫停和最后一张牌的颜色能有什么关系？修改之后的游戏就变成了单纯地赌洗牌之后最后一张是不是红牌。
2.改变之后的游戏和原本的游戏是同一个游戏。 当你叫“停”的时候，下一张牌是红牌的概率和最后一张牌是红牌的概率是一样的（既我们可以调换下一张牌和最后一张牌的位置，而不会对你的胜率产生任何影响）。 实际上，所有暗牌的概率分部都是完全对称的，它们在牌堆中的位置和颜色完全没有任何关系。
更新：
评论区有很多来反驳我的朋友（没有人反驳就奇怪了，毕竟问题是“违背直接”的），比如
漆世尘
最直接的策略：看第一张牌，如果第一张是黑牌，立即喊停；如果是红牌，则让它开到最后一张。
用两红两黑（一红一黑则叫不叫停毫无意义）的扑克进行了简化试验20次对我的策略进行检验。结果为获胜16次，失败四次... 若诸位有兴趣可自行试验
先反驳“最直接的策略”：
看第一张牌，如果第一张是黑牌，就赌第二张是不是红牌。
如果第一张是红牌，就赌最后一张是不是红牌。
如果事先知道你要使用这个策略，那么在发牌之前，我先当着你的面把第二张和最后一张牌互换位置，那么你现在还要用这个策略吗？还是要用完全相反的策略？
关于这个简化实验：
我用穷举法再来回顾一次（这样在逻辑上最简单也不容易混淆）：
4张牌，2黑2红，记作BBRR，一共有6种排列方式：
（1）BBRR
（2）BRBR
（3）BRRB
（4）RBRB
（5）RRBB
（6）RBBR
使用你的策略，（2）（3）（6）的情况下会赢，(1) (4) (5)的情况下会输，由于这六种情况完全对称，比如(2)和（4）发生的概率一样，(1)和（5）发生的概率一样，(3)和(6)发生的情况一样，所以最终你获胜的概率仍然是50%.
猜大小

小红随机选择两个整数，写在两张小纸条上。 两个数不能相同，并不设其他限制。
小明选择一张小红的小纸条，看了上面的数字之后要猜测看到的这个数字是两个数字中较大还是较小的数字（俗称猜大小）。
显然，小明猜对的概率至少有50%（投硬币就行了）。 那么有没有一种方法让自己的胜率大于一半一半呢？
肯定有啊，不然我讲这个故事干嘛！ 策略如下：
小明在玩之前，事先准备好一个包含所有整数的概率分布。 比如：投硬币直到正面出现，如果正面出现之前有偶数（2k）个反面，他就选择数字k；如果有单数（2k-1）个反面，他就选择-k。
小红选择好两个数字之后，小明按照所选分布选一个整数，然后加0.5，这个数字t将成为他的阈值。 比如，他看到了3个硬币，那么他选择整数-2，阈值也就是-1.5
准备工作做好后，小明随机选择一张纸条然后查看上面的数字x。 如果xt，那么他猜x是小红手上较大的数字。 如果xt,那么他猜x是小红手中较小的那个数字。
就这样？为什么？
精彩的证明来啦：
如果t比小红手上两个数字都大，那么小明怎么样都是猜“小”。那么他猜对的概率是50%。
如果t比小红手上两个数字都大，那么小明怎么样都是猜”大“。那么他猜对的概率是50%。
但是，有一个大于零的概率（具体概率可以用你选择的那个概率分布来计算），t是在两个数字之间的，那么小明就是必胜了（记得刚刚说的xt就猜大，xt就猜小吗？）！！
举个例子，小红写的数是1和100，小明用的之前提过的概率分布，扔了10（2k）次骰子才有正面，所以他选的阀值为5.5，5.5在1和100之间，那么他用上述策略可以必胜。 实际上只要小明选的阀值在2-100之间都可以必胜，如果不在之间那么他相当于瞎猜，也有50%概率对。 也就是说最终的正确概率为P（t在小红的两个数在之间）*100%+P（t不在两个数之间）*50%。
所以只要t在两个数之间的概率不为0，那么我们的策略就比50%好了。 而由于我们之间选用了一个包含所有整数的概率分布，所以每个数的对应发生概率都是可以算出来的。比如t=5.5（k=5）的概率就只有0.5^11次方，很小，但可以计算并大于0。 如果一开始选的概率分布不能这样计算那就没用了（比如你选的是均匀分布，那每个数对应的概率都是0，也就没有用了）

当然，如果小红知道了这个策略，那她就选择两个相连的数字，那么小明能有的优势就几乎为零了（不过还是微微高于50%）。